予算制約線と無差別曲線の計算問題⑥

問題

ある消費者の効用関数がU=xyで表され、X財とY財のみを需要するものとする。また、この消費者の所得は1000であり、X財の価格は20、Y財の価格は100であるとする。

この場合において、この消費者の効用の最大値はいくらとなるか。また、X財の価格が80に変化したときにこの効用を得るために必要な所得の最小値を求めよ。

解法

効用関数と予算制約線を連立してU’=0とする方法では計算が煩雑になるので、加重限界効用均等の法則を利用します。

まずはMUx、MUyを求めます。

MUx=∂U/∂x=y , MUy=∂U/∂y=x

Px=20,Py=100であるので、加重限界効用均等の法則より、

MUx/Px=MUy/Py

⇔y/20=x/100

⇔y=0.2x・・・①

そして、予算制約線は、所得が1000、X財の価格が20、Y財の価格が100であることから、

1000=20x+100y

⇔x=-5y+50・・・②

①に②を代入して

y=0.2(-5y+50)

⇔y=-y+10

∴y=5

x=-5×5+50=25

以上から、当初の効用は、U=xy=5×5=125

次にX財の価格が変化したときを考えます。

X財の価格が80に上昇したとき、加重限界効用均等の法則より、

MUx/Px=MUy/Py

⇔y/80=x/100

⇔y=0.8x

効用関数U=xyに代入すると、

U=0.8x^2

当初の効用を満たすときのX財の数量は、当初の効用が125であることから、

125=0.8x^2

⇔x^2=25^2/2^2

⇔x=25/2

また、y=0.8x=0.8×25/2=10

このときに必要な所得をMとすると、

M=80x+100y=80×25/2+100×10=2000

参考記事 ⇒ 『予算制約線と無差別曲線

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