予算制約線と無差別曲線の計算問題②

問題

ある消費者の無差別曲線がU=xyで表されるとする。この消費者が３０００円の予算でX財、Y財の２財を購入するものとし、X財の価格は３００円、Y財の価格は３００円であるとする。

この場合において、効用最大化を達成するX財の最適購入量x’はいくらになるか。

解法　①

まずは予算制約線を導出します。予算が３０００円、X財の価格が３００円、Y財の価格が３００円であることから、予算制約線は

3000=300x+300y

となります。

これをyの一次関数になるように整理すると、

y=-x+10

そして、この式を効用関数U=xyに代入すると

U=xy

＝x(-x+10)

=-x^2+10x

効用が最大となるのはU’=0となるときなので、

U’＝-2x+10=0 　∴ x=5

解法②

まずはMUx、MUyを求めます。

MUx=∂U/∂x=y , MUy=∂U/∂y=x

ここで、加重限界効用均等の法則を用います。

Px=300,Py＝300であるので、

MUx/Px=MUy/Py

⇔y/300=x/300

⇔y=x

そして、①と同じなので予算制約線の計算方法は省略しますが、予算制約式と連立して、

x=-x+10

⇔ x=5

となります。