問題
ある消費者の効用関数がU=xy^2で表されている。また、この消費者の予算は３０００円で、この予算の範囲内でX財、Y財を購入するものとする。X財の価格は１００円、Y財の価格は４００円とする。
この場合において、この消費者の効用が最大となるときの値はいくらになるか。
解説 ①
まずは予算制約線を求めます。予算が３０００円で、X財の価格が１００円、Y財の価格が４００円であることから、
3000=100x+400y
⇔x=30-4y
（y=にすると、効用関数U=xy^2なので、計算が煩雑になるため、x=にしました。）
これを、効用関数U=xy^2に代入すると
U=(30-4y)y^2
=30y^2-4y^3
効用が最大となるのはU’=0のときなので、
U’=60y-12y^2
=y(60-12y)=0
∴ y=0,5
y=0のとき、U=0
y=5のとき、U=(30-4×5)×5^2=250
解説 ②
同様に、まずは予算制約線を求めます。
3000=100x+400y
⇔x=30-4y
次に、MUx,MUyを求めます。
MUx=∂U/∂x＝y^2
MUy=∂U/∂y＝2xy
そして加重限界効用均等の法則より
MUx/Px=MUy/Py
⇔y^2/100=2xy/400
⇔x=2y
これを予算制約線に代入して、
2y=30-4y
∴y=5
さらに、x=2y=2×5=10
以上より、U=xy^2=10×5^2=250
参考記事⇒ 『予算制約線と無差別曲線』
