弾力性の計算問題⑥

問題

ある消費者の無差別曲線がU=xyで表されるとする。この消費者が3000円の予算でX財、Y財の2財を購入するものとし、X財の価格は300円、Y財の価格は600円であるとする。

この場合において、効用最大化を達成するX財の最適購入量x’及び需要の価格弾力性はいくらになるか。

解説

予算制約線と無差別曲線の計算問題①の改題です。

まずは予算制約線を導出します。予算が3000円、X財の価格が300円、Y財の価格が600円であることから、予算制約線は

3000=300x+600y

となります。

これをyの一次関数になるように整理すると、

y=-0.5x+5

そして、この式を効用関数U=xyに代入すると

U=xy

=x(-0.5x+5)

=-0.5x^2+5x

効用が最大となるのはU’=0となるときなので、

U’=-x+5=0  ∴ x’=5

需要の所得弾力性はe=(Δx/ΔM)×(M/x)で表されます。そこで、新たに必要となるのが、

Δx/ΔMです。Δx/ΔMを導出するため、予算制約線の所得をMと置き、両辺をxで微分します。

M=300x+600y

dM/dx=300

⇔dx/dM=1/300

以上のことから、

e=(Δx/ΔM)×(M/x)=(1/300)×(3000/5)=2

参考記事 ⇒ 『予算制約線と無差別曲線』、『財の弾力性

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