予算制約線と無差別曲線の計算問題④

問題

ある消費者の効用関数がU=xy^2で表されている。また、この消費者の予算は3000円で、この予算の範囲内でX財、Y財を購入するものとする。X財の価格は100円、Y財の価格は400円とする。

この場合において、この消費者の効用が最大となるときの値はいくらになるか。

解説 ①

まずは予算制約線を求めます。予算が3000円で、X財の価格が100円、Y財の価格が400円であることから、

3000=100x+400y

⇔x=30-4y

(y=にすると、効用関数U=xy^2なので、計算が煩雑になるため、x=にしました。)

これを、効用関数U=xy^2に代入すると

U=(30-4y)y^2

=30y^2-4y^3

効用が最大となるのはU’=0のときなので、

U’=60y-12y^2

=y(60-12y)=0

∴ y=0,5

y=0のとき、U=0

y=5のとき、U=(30-4×5)×5^2=250

解説 ②

同様に、まずは予算制約線を求めます。

3000=100x+400y

⇔x=30-4y

次に、MUx,MUyを求めます。

MUx=∂U/∂x=y^2

MUy=∂U/∂y=2xy

そして加重限界効用均等の法則より

MUx/Px=MUy/Py

⇔y^2/100=2xy/400

⇔x=2y

これを予算制約線に代入して、

2y=30-4y

∴y=5

さらに、x=2y=2×5=10

以上より、U=xy^2=10×5^2=250

参考記事⇒ 『予算制約線と無差別曲線

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